CLASSIFICATIE

OUDE EN NIEUWE CLASSIFICATIES VAN WISKUNDE.
Het concept van structuur en aanverwante andere concepten hebben een centrale plaats ingenomen in de moderne wiskunde, zowel vanuit puur ’technisch’ als vanuit filosofisch en methodologisch oogpunt. Algemene stellingen van basistypen van structuren zijn buitengewoon krachtige instrumenten van wiskundige “techniek”. Telkens wanneer een wiskundige erin slaagt aan te tonen dat de door hem bestudeerde objecten voldoen aan de axioma’s van een bepaald type structuur, bewijst hij daarmee dat alle stellingen van structuurtheorie van dit type van toepassing zijn op de specifieke objecten die hij bestudeert (zonder deze algemene stellingen heeft hij zeer waarschijnlijk in het zicht zouden zijn van hun specifieke opties of zouden worden gedwongen hun redenering te belasten met onnodige aannames). Evenzo, als wordt bewezen dat twee structuren isomorf zijn, verdubbelt het aantal stellingen onmiddellijk: elke stelling die voor een van de structuren is bewezen, geeft onmiddellijk de overeenkomstige stelling voor de andere. Het is daarom niet verwonderlijk dat er zeer complexe en moeilijke theorieën bestaan, bijvoorbeeld “klassenveldtheorie” in de getaltheorie, waarvan het belangrijkste doel is het isomorfisme van structuren te bewijzen.

Vanuit filosofisch oogpunt toont het wijdverbreide gebruik van structuren en isomorfismen het belangrijkste kenmerk van de moderne wiskunde aan: het feit dat de ‘aard’ van wiskundige ‘objecten’ geen speciale betekenis heeft, alleen de relaties tussen objecten zijn significant (een soort principe van onvolledigheid van kennis).

Ten slotte kan men niet nalaten te vermelden dat het concept van structuur het mogelijk maakte om takken van de wiskunde op een nieuwe manier te classificeren. Tot halverwege de 19e eeuw. ze varieerden naargelang het onderwerp van de studie. Rekenen (of getaltheorie) behandelde hele getallen, geometrie met rechte lijnen, hoeken, polygonen, cirkels, vlakken, etc. Algebra behandelde bijna uitsluitend methoden voor het oplossen van numerieke vergelijkingen of stelsels van vergelijkingen, analytische meetkunde ontwikkelde methoden om geometrische problemen om te zetten in equivalente algebraïsche problemen. De cirkel van belangen van een andere belangrijke tak van de wiskunde, “wiskundige analyse” genaamd, omvatte voornamelijk differentiaal- en integraalrekening en hun verschillende toepassingen op meetkunde, algebra en even getaltheorie. Het aantal van deze toepassingen nam toe, en ook hun belang nam toe, wat leidde tot de fragmentatie van wiskundige analyse in onderafdelingen: functietheorie, differentiaalvergelijkingen (gewone en partiële afgeleiden), differentiaalmeetkunde, variatierekening, enz.

Voor veel moderne wiskundigen lijkt deze benadering op de geschiedenis van de eerste classificatie van dieren door natuuronderzoekers: ooit werden zowel de zeeschildpad als de tonijn als vis beschouwd, omdat ze in het water leefden en vergelijkbare kenmerken hadden. De moderne benadering heeft ons geleerd niet alleen te zien wat er aan de oppervlakte ligt, maar ook dieper te kijken en te proberen de fundamentele structuren achter de misleidende verschijning van wiskundige objecten te herkennen. Vanuit dit oogpunt is het belangrijk om de belangrijkste soorten constructies te bestuderen. We hebben nauwelijks een volledige en definitieve lijst van deze soorten; sommigen van hen zijn in de afgelopen 20 jaar ontdekt, en er is alle reden om in de toekomst nieuwe ontdekkingen te verwachten. We hebben echter al een idee van veel van de “abstracte” basistypen structuren. (Ze zijn ‘abstract’ in vergelijking met de ‘klassieke’ objecten van de wiskunde, hoewel ze nauwelijks ‘concreet’ kunnen worden genoemd; het is meer een kwestie van de mate van abstractie.)

Bekende structuren kunnen worden geclassificeerd op basis van hun samenstellende relaties of hun complexiteit. Enerzijds is er een uitgebreid blok “algebraïsche” structuren, waarvan een specifiek geval bijvoorbeeld een groepsstructuur is; naast andere algebraïsche structuren zullen we ringen en velden noemen (zie ook ABSTRACTE ALGEBRA). De tak van de wiskunde die zich bezighoudt met de studie van algebraïsche structuren wordt “moderne algebra” of “abstracte algebra” genoemd, in tegenstelling tot gewone of klassieke algebra. Veel van de Euclidische meetkunde, niet-Euclidische meetkunde en analytische meetkunde werden ook onderdeel van de nieuwe algebra.

Op hetzelfde niveau van algemeenheid zijn er twee andere blokken met structuren. Een ervan, de algemene topologie genaamd, bevat theorieën over typen structuren, een speciaal geval is de structuur van een metrische ruimte (zie TOPOLOGIE; ABSTRACTE RUIMTEN). Het derde blok bestaat uit theorieën over ordesstructuren en hun uitbreidingen. “Uitbreiding” van de structuur bestaat uit het toevoegen van nieuwe axioma’s aan de bestaande. Als we bijvoorbeeld de commutativiteitseigenschap a * b = b * a aan de groepsaxioma’s toevoegen als het vierde axioma, dan krijgen we de structuur van een commutatieve (of abelse) groep.

Van deze drie blokken waren de laatste twee tot voor kort in een relatief stabiele toestand, en het blok “moderne algebra” groeide snel, soms in onverwachte richtingen (er ontwikkelde zich bijvoorbeeld een hele tak genaamd “homologische algebra”). Buiten de zogenaamde. Van “pure” soorten structuren ligt een ander niveau – “gemengde” structuren, bijvoorbeeld algebraïsch

rubiks kubus kopen